唯一矩形 5

什么是唯一矩形5型？

唯一矩形5型（Unique Rectangle Type 5，简称UR5）是UR家族的高级变体，其独特之处在于屋顶格位于矩形的对角线上，而非同行或同列。

结构特征：

• 四格矩形（两行两列，跨越两个宫）
• 对角线分布：两个底部格（仅含{A,B}）位于矩形的一条对角线，两个屋顶格（含额外候选数）位于另一条对角线
• 每个屋顶格各自含 {A, B} 加额外候选数

与其他UR类型的区别：

• UR1：三格底部，一格屋顶
• UR2：两格底部（同行/列），两格屋顶（同行/列）
• UR3：同上，额外候选数不同，形成裸数组
• UR4：利用强链
• UR5：两格底部，两格屋顶，但底部和屋顶均对角分布

解题步骤

1. 识别对角分布：确认两底部格和两屋顶格分别位于矩形的两条对角线
2. 确认候选数：底部格仅含{A,B}；屋顶格含{A,B,C}（C可以不同）
3. 分析唯一性约束：由于底部格固定为{A,B}，若两屋顶格也仅用A和B，会形成致命图案
4. 逐格推理：
   • 屋顶格1（R_aC_b）：含 {A, B, C1}
   • 屋顶格2（R_cC_d）：含 {A, B, C2}
   • 两格各自的额外候选数C1、C2使矩形避免致命图案
5. 应用排除：根据C1和C2的关系，结合外部约束，执行相应排除

示例详解

考虑以下矩形（对角线分布）：

        C3              C7
R1  [候选: 2,6]    [候选: 2,6,4]
R8  [候选: 2,6,8]  [候选: 2,6]

• R1C3：{2,6} — 底部格（A=2, B=6）
• R8C7：{2,6} — 底部格
• R1C7：{2,6,4} — 屋顶格（对角，额外候选数4）
• R8C3：{2,6,8} — 屋顶格（对角，额外候选数8）

推理：

• 为避免致命图案，R1C7 和 R8C3 中至少一个填非{2,6}的数字
• 即：R1C7 = 4 或 R8C3 = 8（或两者都是）
• 若能在第1行排除4的其他位置，或在第8行排除8的其他位置，可结合进一步推理

此时UR5配合外部约束使用：若第1行的4只能在R1C7（其他格都不含4），则 R1C7=4 确定；或者用于排除能同时看到两屋顶格的外部格子的候选数（当C1=C2时）。

实用技巧

• UR5与UR2的关系：当两屋顶格对角分布且含相同额外候选数时，UR5等价于UR2（换一种视角）
• 检查对角线：识别UR5时，先看矩形的两条对角线，确认哪条含底部格，哪条含屋顶格
• 额外候选数不同时更复杂：需结合外部约束（行、列、宫中的其他分布）才能得出有用结论
• 对角UR的稀有性：实际题目中UR5出现频率低于UR1-3，见到时往往需要仔细核对结构

与其他技法的关系

• 前置技法：唯一矩形1型 — UR唯一性推理基础
• 同族对比：唯一矩形4型 — 利用强链的UR变体，与UR5有时可互补
• 进阶变体：唯一矩形6型 — 更复杂的隐性形式唯一性推理

常见问题

Q：UR5和UR2有什么本质区别？

A：核心区别在于底部格和屋顶格的空间分布。UR2中，两底部格在矩形的一条边（同行或同列），两屋顶格在对面的边。UR5中，底部格和屋顶格分别沿矩形的对角线分布。当UR5的两屋顶格含相同额外候选数时，推理结论与UR2相同；含不同额外候选数时，需要额外的外部约束才能产生有效排除。

Q：UR5在实战中出现的频率高吗？

A：相对较低。UR5的结构要求比较特殊（对角分布），在标准数独中不如UR1、UR2常见。但在困难和专家级题目中，了解UR5能帮助你发现其他方法难以察觉的候选数排除机会。

在爱九宫数独中练习

打开爱九宫数独 App → 学习 → 大师技法 → 唯一矩形5型，专项练习对角矩形结构的识别。建议在候选数标注模式下，系统地检查每个矩形的对角线分布，逐步培养对UR5结构的直觉。